Partial Different Equation

편미분방정식. 말이 익숙해서 배웠는데 내가 공업수학에서 배우고 까먹은 건줄 알았는데 알고보니 수업에서는 배우지 않았다… 대학원 면접때 공업수학 준비를 못해서 물어볼 줄 예상도 못했고… 다시 공부해야겠다 싶어 책을 들었다!

Advanced Engineering Mathematics
저자 Erwin Kreyszig

출판 Wiley

발매 2011.01.01.

Kreyszig 책 10판을 참고하였다.

12장 PDE

시작에 앞서 두가지 ODE를 풀어본다.

두가지 ODE

(1) 은 특성방정식을 이용하여 간단하게 풀 수 있다. (2) 는 변수분리를 통해 문제를 해결하였다.

모델링

첫번째로 파동방정식의 모델링이다. 길이 L이고 양 끝이 고정되어 있는 줄이다.

힘분석

위 그림에서 줄 위의 한 점에 작용하는 힘을 분석한다. 수평방향으로는 변위가 0이므로 가속도 역시 0이 되고 작용하는 알짜힘이 0이된다. 따라서 (1) 식과 같은 결과를 얻을 수 있다. (2)번 식은 수직방향의 운동방정식이다. 왼쪽항은 좌우로 작용하는 장력의 수직성분의 합이고 오른쪽항은 가속도를 나타낸다. 즉 ‘알짜힘 = 질량*가속도’ 가 된다.

위의 운동방정식을 아래와 같이 정리하면 파동방정식을 얻을 수 있다.

파동방정식

다음은 위의 편미분 방정식을 구하는 과정이다.

편미분방정식

먼저 주어진 방정식은 위와 같이 쓸 수 있다. 그리고 x변수 하나의 공간변수를 가지므로 1차 파동방정식이 된다.

1차파동방정식

풀이를 시작하기 전에 경계조건과 초기조건을 위와같이 구할 수 있다. ①은 줄의 양 끝이 u=0에 고정되어 있음을 이용한다. ②는 초기조건이다. 함수 f는 초기 deflection, 여기서는 u의 값이라고 할 수 있다. 함수 g는 초기 속도이다. 물론 수직방향성분이다.

step1

Step1. 변수 분리를 이용한다.(Method of separating variables) 함수 u를 x에 대한 함수 F와 t에 대한 함수 G의 곱으로 나타낸다. 이는 공학문제를 해결하는데 많이 사용되는 방법이며 문제해결을 쉽게해주는 가정이다. 이를 이용하면 아래의 식 ①, ②를 얻을 수 있다. dot은 시간 t에 대한 미분, prime은 공간변수 x에 대한 미분을 나타낸다.

step1-2

이 때 ③과 같이 정리한 결과를 상수 k로 놓게 된다. 만약 k가 아니라 x나 t에 대한 식이 되면 변수분리를 한 결과와 모순되기 때문이다. (오타; If k is variables of t or x, u (x,t) can’t be seperated.)

step1-3

위 결과를 통애 두개의 ODE를 구할 수 있다.

step2

Step2. 경계조건을 이용해 문제를 해결한다. 먼저 x에 대한 경계조건을 이용해서 쉽게 위의 결과를 얻을 수 있다.

step2-1

다음은 k값의 부호를 결정한다. k=0일 때의 경우는 쉽게 구할 수 있고 그 결과가 중요하지 않다. 먼저 k값이 0보다 클 때이다. k값이 0보다 크면 F를 풀면(ODE) 위와같이 결과를 얻을 수 있다. 하지만 경계조건을 적용해보면 그 결과가 모순된다는 것을 알 수 있다.

step2-2

따라서 k는 음수가 되어야 하고 ③식과 같이 k = -p^2으로 쓸 수 있다. 이 값을 적용하여 F를 풀면(ODE) 위와 같은 일반해를 얻을 수 있다.

step2-3

그리고 앞에서와 같이 경계조건을 적용하면 p = npi/L을 얻을 수 있고 B=1로 놓으면 정수 n에 대한 함수 F를 구할 수 있다.

step2-4

같은 방식으로 G역시 구할 수 있다.

step2-5

④와 ⑤의 결과를 합치면 위의 n에 대한 해를 구할 수 있다. 이를 eigenfunction라 한다. 그리고 eigen values, spectrum 과 같은 값들을 확인 할 수 있다. 또한 nomal mode 라는 것이 있는데 이 결과를 통해 진동하는 선에서 만드는 정상파의 조화모드를 확인 할 수 있다. 이 결과는 일반대학물리학에 자세히 나와있다.

step3

Step3. 위의 결과는 위의 결과를 퓨리에 급수로 해석한 결과이다. Step2의 결과는 n에 대한 해이고 모든 n에 대한 해를 합쳐야 일반해라 할 수 있다. 그리고 그 일반해는 퓨리에 급수를 통해 위와같이 보다 직관적으로 해석된다.

특히 ③의 결과를 보면 함수 f는 초기의 deflection이었고 이 값이 서로 반대방향으로 진행하여 겹치는 형태의 결과라는 것을 직관적으로 알 수 있다. 여기서 f*라는 것은 u(0,t)=0, u(L,t)=0 이 결과를 반영함을 알 수 있다.

끝!

(이 글은 제가 공부한 내용을 제가 볼려고 정리한 내용이기 때문에 필요한 기초지식이나 일부 내용들은 생략되었습니다. 혹시나 이글을 보신 분들 중에 궁금하신 점이나 잘못된 부분이 있다면 알려주세요…)

댓글